Мою 8 летнюю племянницу ударил старшеклассник так, что у неё синяк на поллица, можно ли него писать заявление в полицию ?

Побои можно зафиксировать в травмпункте, они тоже передадут сведения в полицию участковому.
да, можно, но уголовная ответственность наступает с 16 лет.
старшеклассника можно привлечь за побои (статья 116 ук рф).
заявление пишется в полицию, предварительное расследование проводится в форме дознания в срок 30 суток+10 суток на принятие решения о возбуждении уголовного дела либо на отказ в возбуждении уголовного дела.