Нужно ли писать заявление работодателю, чтобы он сделал запрос в медицинское учреждение о степени тяжести повреждения?

Вы можете сами пойти в СМ Бюро в вашем городе, которое устанавливает степень тяжести повреждения (они все это делают). Получить справчку. Принести работодателю. Это проще, чем ждать у моря погоды