Могут ли через год совершения кражи, завести уголовное дело?

Да, срок давности не прошел. Статья 78. Освобождение от уголовной ответственности в связи с истечением сроков давности 1. Лицо освобождается от уголовной ответственности, если со дня совершения преступления истекли следующие сроки: а) два года после совершения преступления небольшой тяжести; б) шесть лет после совершения преступления средней тяжести; в) десять лет после совершения тяжкого преступления; г) пятнадцать лет после совершения особо тяжкого преступления. 2. Сроки давности исчисляются со дня совершения преступления и до момента вступления приговора суда в законную силу. В случае совершения лицом нового преступления сроки давности по каждому преступлению исчисляются самостоятельно. 3. Течение сроков давности приостанавливается, если лицо, совершившее преступление, уклоняется от следствия или суда. В этом случае течение сроков давности возобновляется с момента задержания указанного лица или явки его с повинной. 4. Вопрос о применении сроков давности к лицу, совершившему преступление, наказуемое смертной казнью или пожизненным лишением свободы, решается судом. Если суд не сочтет возможным освободить указанное лицо от уголовной ответственности в связи с истечением сроков давности, то смертная казнь и пожизненное лишение свободы не применяются. 5. К лицам, совершившим преступления против мира и безопасности человечества, предусмотренные статьями 353, 356, 357 и 358 настоящего Кодекса, сроки давности не применяются.