Скажите, пожалуйста, можно ли просить компенсацию у адвоката, если он проиграл дело?

Компенсацию попросить нельзя. Адвокат работал не на безвозмездной основе. Его труд должен быть оплачен. Но, согласно ч1 ст8 Кодекса профессиональной этики адвоката :при осуществлении профессиональной деятельности адвокат: честно, разумно, добросовестно, квалифицированно, принципиально и своевременно исполняет свои обязанности, активно защищает права, свободы и интересы доверителей всеми не запрещенными законодательством средствами, руководствуясь Конституцией Российской Федерации, законом и настоящим Кодексом. Если вы считаете, что адвокат выполнял свою работу недобросовестно, не приложил усилий для достижения нужного вам результата, вы можете написать жалобу в Палату адвокатов соответствующего субъекта федерации. Там дело рассмотрят и, если сочтут вашу жалобу обоснованной, привлекут адвоката к дисциплинарной ответственности.